Optimisation de Portefeuille Financier : Méthodes pour Équilibrer Correctement ses Actifs

Constituer un portefeuille optimal, maximisant les gains tout en minimisant les risques, est le Saint Graal de tout investisseur. La clé réside souvent dans la diversification : un portefeuille équilibré, où les performances des actifs se complètent. En période de mauvaise performance pour certains actifs, d'autres peuvent compenser, assurant ainsi une croissance régulière du capital.

Mais comment réaliser cela en pratique ? Comment inclure des actifs à fort potentiel comme les cryptomonnaies, qui, en raison de leur risque élevé et de leur forte corrélation, défient l'idée même de diversification ?

Une approche analytique est indispensable pour répondre à ces questions. Explorons ensemble les outils d'optimisation de portefeuille qui prennent en compte les actifs cotés en bourse, y compris les cryptomonnaies, et permettent de calculer la répartition optimale des actifs selon nos préférences de risque.

Les Outils d’Optimisation De Portefeuille Financiers : Prérequis

La disponibilité de données historiques est cruciale pour pouvoir optimiser un portefeuille, car elles fournissent une base pour étudier les tendances, les corrélations et les niveaux de risque. Les cryptomonnaies et autres actifs cotés en bourse bénéficient de données historiques de prix détaillées, ce qui n’est souvent pas le cas pour d'autres classes d'actifs.

Nous allons donc considérer uniquement dans cet article des actifs cotés en bourse pour appliquer les méthodes d’optimisation de portefeuille. Si vous avez besoin de plus de détails sur la diversification de portefeuille et les actifs de la finance moderne, vous pouvez vous rendre sur notre article dédié.

Simulations de Monte Carlo pour l’Optimisation de Portefeuille d’Investissement

Avec les simulations de Monte Carlo, nous entrons dans les méthodes dites "numériques" pour optimiser un portefeuille d’investissement. Cette méthode évalue les performances potentielles d'un portefeuille en utilisant des distributions aléatoires de rendements futurs basées sur des données historiques. Voici comment cela fonctionne en pratique :

Génération de Scénarios Aléatoires : En utilisant les rendements historiques des actifs, cette méthode génère des milliers de scénarios possibles pour les rendements futurs. Chaque scénario représente une trajectoire possible des prix des actifs dans le portefeuille.
Calcul des Rendements de Portefeuille : Pour chaque scénario, les rendements des actifs sont combinés selon les poids du portefeuille pour calculer le rendement total du portefeuille.
Analyse Statistique des Résultats : Les résultats de toutes les simulations sont analysés pour estimer les mesures de performance du portefeuille, telles que la moyenne des rendements, la variance, la valeur à risque (VaR), et l’espérance de perte. Cela permet d'évaluer la robustesse du portefeuille face aux incertitudes des marchés.
Optimisation : En fonction des résultats obtenus, les paramètres du portefeuille peuvent être ajustés pour améliorer sa performance. Par exemple, on peut modifier les poids des actifs pour maximiser le rendement moyen ou minimiser le risque (la volatilité).

Les Simulations de Monte Carlo peuvent être utilisées pour l'optimisation de portefeuilles d'investissement comprenant tout type d'actifs, qu'ils soient fortement corrélés, fortement volatils ou non, à condition que des données historiques fiables soient disponibles. Cependant, elle est numériquement intensive et nécessite beaucoup de ressources de calcul. C'est pourquoi nous allons nous concentrer davantage sur des méthodes statistiques dans la suite de cet article.

Mean-Variance Optimization : Pondération des Actifs pour un Risque Choisi

Comment Fonctionne la Mean-Variance Optimization

La Mean-Variance Optimization (optimisation par variance-moyenne) est une méthode dite “quantitative” utilisée pour trouver les proportions que doit avoir chaque actif d’un portefeuille d’investissement pour satisfaire un risque donné. Voici comment cela fonctionne en quelques mots :

Calcul des Rendements Moyens : On commence par estimer les rendements moyens attendus de chaque actif dans le portefeuille basé sur les performances historiques ou d'autres modèles de prévision.
Estimation des Variances et Covariances : La variance de chaque actif et la covariance entre chaque paire d'actifs sont calculées. La variance mesure la volatilité d'un actif, tandis que la covariance indique comment le prix de deux actifs se déplacent ensemble. Par exemple, une covariance positive signifie que les deux actifs ont tendance à évoluer dans la même direction.
Résolution d'un Problème d'Optimisation : L'objectif est de minimiser le risque (variance du portefeuille) pour un niveau de rendement attendu, ou de maximiser le rendement attendu pour un niveau de risque donné. Cela se fait en résolvant un problème d'optimisation dit “quadratique” en mathematiques. La solution fournit les poids optimaux (pourcentages d'allocation) pour chaque actif dans le portefeuille.

Étudions maintenant un exemple pour illustrer les résultats de cette méthode. Pour l’appliquer facilement à des portefeuilles d'actifs cotés en bourse, nous avons développé un code très simple en Python. Il utilise notamment Yahoo Finance pour télécharger les données historiques. Si cela vous intéresse, vous le trouverez ici.

Optimisation Mean-Variance : Portefeuille ETF Majeurs et Actions Tech

Pour déterminer les proportions optimales des actifs dans un portefeuille diversifié afin de minimiser le risque total du portefeuille, prenons l'exemple d'un portefeuille comprenant une dizaine d'actifs, incluant des ETF majeurs et des actions de grandes entreprises mondialement connues:

ETF “S&P 500” : SPDR S&P 500 ETF Trust (symbole : SPY)
ETF “All-World” : Vanguard FTSE All-World UCITS ETF (symbole : VWRD).
ETF “CAC 40” : Amundi ETF CAC 40 (symbole : C40).
ETF “Top Entreprises Allemandes” : iShares Core DAX UCITS ETF (symbole : EXS1.DE).
ETF “Top Entreprises Britanniques” : iShares MSCI United Kingdom ETF (symbole : EWU).
ETF “Top Entreprises Japonaises” : iShares MSCI Japan ETF (symbole : EWJ).
Actions Apple : symbole AAPL.
Actions Tesla : symbole TSLA.

Cette sélection couvre les marchés américains, européens, britanniques, et japonais, ainsi que des actions de deux grandes entreprises technologiques. En exécutant notre code avec ce choix, nous obtenons les proportions suivantes pour minimiser le risque du portefeuille, c’est-à-dire avec une volatilité sur les rendements la plus faible possible, réduisant ainsi les changements brusques dans ses performances au jour le jour :

Poids optimaux pour chaque actif (Mean-Variance Optimization):
SPY: 0.00%
VWRD.L: 1.85%
C40.PA: 48.90%
EXS1.DE: 0.00%
EWU: 0.00%
EWJ: 0.91%
AAPL: 0.00%
TSLA: 48.34%

Vous pouvez constater que cette méthode exclut une bonne partie des actifs du portefeuille, car l'algorithme a jugé que certains actifs n'en valaient pas la peine en raison de leur volatilité. Cependant, il est surprenant de voir que TSLA se voit attribuer une proportion quasi équivalente à la moitié du portefeuille, alors que TSLA est plus volatile qu'un ETF "All World" tel que VWRD.L. De plus, l'autre moitié du portefeuille est presque entièrement constituée de C40.PA.

Cela montre que, dans une volonté de diversification, cette méthode est limitée. Dans cet exemple, nous souhaitions être exposés à tous ces actifs et cherchions une distribution des proportions de chaque actif qui aboutisse à un profil de risque raisonnable compte tenu de leur performance et volatilité passées. En d'autres termes, minimiser le risque de manière aveugle n'est pas toujours judicieux. Il est plus intéressant d'établir une échelle des portefeuilles possibles, couvrant une large plage de risques et de rendements, afin de trouver les poids optimaux pour le niveau de risque qui nous convient. C'est ce que nous allons explorer maintenant.

Optimisation Quantitative de Portefeuille : La Méthode de l'Efficient Frontier

Comprendre le Concept de l'Efficient Frontier

L'Efficient Frontier (frontière efficiente), introduite par Harry Markowitz, permet de déterminer le portefeuille optimal en termes de rendement attendu pour un niveau de risque donné. Le but est de répéter le processus d'optimisation pour différentes attentes de rendement.

En pratique, un grand nombre de combinaisons de poids de chaque actif sont générées aléatoirement pour modéliser de nombreux portefeuilles possibles. Grâce à cela, sur un graphique représentant le rendement en fonction du risque, il est possible de tracer une courbe particulière : la frontière efficiente. Chaque point sur cette frontière représente un portefeuille dit “optimal”. Les portefeuilles situés en dessous de la frontière sont sous-optimaux car ils offrent un rendement inférieur pour un risque donné.

Exemple Pratique de l'Efficient Frontier

Illustrons et expliquons cela avec notre exemple de choix d'actifs précédent. Une exécution de notre code en Python (celui dont nous vous avons fourni le lien plus haut) nous donne les résultats ci-dessous :

La frontière efficiente est la courbe qui englobe la partie supérieure du nuage de points. Ici, nous avons choisi d’illustrer uniquement une partie. Les étoiles correspondent aux 30 portefeuilles qui donnent les meilleurs rendements versus risque, une mesure quantifiée par l’indicateur Sharpe Ratio.

Ensuite, grâce à ce graphique, une fois qu’on a sélectionné un point qui nous convient en termes de rendement et risque, nous pouvons obtenir les poids des actifs qui constituent ce portefeuille.

Mise en Garde sur l'Efficient Frontier et les Actifs Corrélés

Cependant, avec l’Efficient Frontier, il faut également faire attention aux actifs considérés. La Mean-Variance Optimization (MVO) suppose que les rendements sont stationnaires, c'est-à-dire que leurs statistiques (moyennes et covariances) ne changent pas avec le temps. Elle repose aussi souvent implicitement sur l'idée que les rendements suivent une distribution normale.

Ces hypothèses ne sont pas toujours vérifiées, surtout pour les actifs cotés en bourse et encore moins pour les cryptomonnaies. Les rendements des cryptomonnaies sont souvent plus volatils, avec des distributions pouvant avoir de longues queues ou être asymétriques. Voyons donc maintenant une autre méthode quantitative qui permet de prendre correctement en compte ces particularités.

Parité de Risque Hiérarchique : Optimisation pour les Actifs Financiers Modernes

La Méthode Quantitative de Parité de Risque Hiérarchique (PRH) pour l'Optimisation de Portefeuille

La Parité de Risque Hiérarchique (Hierarchical Risk Parity) est une méthode d'optimisation de portefeuille qui utilise des techniques de clustering hiérarchique pour mieux gérer les corrélations instables et la volatilité élevée des actifs. Le clustering hiérarchique est une méthode de regroupement des actifs basée sur leurs similarités de comportement, formant une hiérarchie de clusters imbriqués. Voici comment HRP fonctionne en bref :

Calcul des Matrices de Distance : Une distance entre les actifs est calculée en fonction de leurs corrélations (une distance plus petite signifie que les actifs sont plus fortement corrélés). Cette distance quantifie la similitude des mouvements de prix entre deux actifs.
Clustering Hiérarchique : Les actifs sont regroupés en “clusters hiérarchiques” en utilisant des algorithmes de regroupement. Les actifs les plus similaires (ceux avec les distances les plus petites) sont regroupés en premier, puis des groupes de plus en plus larges sont formés.
Répartition du Risque : Une fois les clusters formés, PRH répartit le risque de manière égale entre les clusters, puis au sein de chaque cluster. Cela permet de répartir le risque de manière égale entre les groupes d'actifs, et ensuite au sein de chaque groupe.
Calcul des Poids du Portefeuille : Les poids des actifs dans le portefeuille sont déterminés en fonction de la structure hiérarchique et de la répartition du risque. Cette méthode permet de créer un portefeuille où le risque est mieux équilibré, même si les corrélations entre les actifs changent fréquemment.

Ainsi, la méthode PRH est idéale pour les portefeuilles incluant des cryptomonnaies. Elle permet de mieux gérer les fortes corrélations et la volatilité de ces actifs, offrant une stratégie d'optimisation plus robuste et nuancée pour les investisseurs en quête de diversification.

Optimisation des Portefeuilles ETF, Actions et Cryptomonnaies avec la Parité de Risque Hiérarchique

Nous avons également développé un code très simple en Python qui permet d'effectuer ce type d’optimisation appliqué à tout choix de portefeuille d'actifs cotés en bourse. Nous l’avons ajouté à la suite de celui que nous utilisons jusqu'à présent, trouvez-le ici. Nous avons notamment utilisé la librairie riskfolio-lib qui permet la réalisation des calculs selon l’algorithme de PRH (et plus encore, voir Riskfolio-Lib Documentation).

Reprenons les actifs Actions et ETF de notre portefeuille précédent, pour simplifier nous garderons uniquement ceux optimisés comme non nuls par la mean-variance optimization, et rajoutons les deux cryptomonnaies les plus grandes en capitalisation boursière, le Bitcoin et l’Ether. En résumé, cela donne :

ETF “All-World” : Vanguard FTSE All-World UCITS ETF (symbole : VWRD).
ETF “CAC 40” : Amundi ETF CAC 40 (symbole : C40).
ETF “Top Entreprises Japonaises” : iShares MSCI Japan ETF (symbole : EWJ).
Actions Tesla : symbole TSLA.
Bitcoin
Ethereum

L’exécution pour obtenir les quantités de chaque actif qui minimisent au mieux le risque de ce portefeuille donne :

Poids optimaux pour chaque actif en % :
BTC-USD C40.PA ETH-USD EWJ TSLA VWRD.L
weights 2.94 34.22 1.65 27.05 2.08 32.05

Les résultats semblent très pertinents. Nous voyons que les cryptomonnaies sont attribuées de très faibles proportions, seulement quelques pourcents. Ce n’est pas étonnant, ces actifs présentent une volatilité très large par rapport aux autres actifs et ainsi contribunt plus fortement à la variance totale du portefeuille et donc à son risque. Il en découle également que la proportion de BTC est légèrement plus grande que celle d'ETH, car BTC a historiquement offert plus de stabilité qu'ETH.

Il est également intéressant de noter que les proportions des autres actifs sont totalement changées par la méthode PRH. Les proportions les plus importantes sont attribuées aux actifs les plus robustes et moins volatiles, à savoir les ETF généralistes. La proportion de TSLA est reléguée au même niveau que les deux cryptomonnaies.

De manière générale, nous trouvons que la méthode PRH est plus fiable et pertinente quand des actifs cotés en bourse sont considérés. Des corrélations constantes et des distributions de rendements suivant une loi normale sont des hypothèses pas souvent réalistes pour ce genre d’actifs, que ce soit des ETF, des actions ou encore plus des cryptomonnaies. Ce qui signifie que la mean-variance optimization et l’Efficient Frontier ne sont pas le mieux adaptées pour l’optimisation de portefeuilles financier modernes.

Si vous souhaitez en savoir plus sur la méthode PRH et notamment sur des résultats d’optimisation de différents portefeuilles d’actifs modernes, généraux et variés, rendez-vous dans cet article. Gardez en tête que cet article est éducatif et ne constitue pas un conseil en investissement. Nous espérons que cela vous apportera de bonnes bases pour mieux comprendre l’optimisation de portefeuille et vous permettre de faire vos propres analyses.